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Fonction exponentielle — Mathématiques Première
Comprenez les méthodes de la fonction exponentielle, entraînez-vous et vérifiez votre raisonnement grâce aux corrigés détaillés. Découvrez trois extraits ; retrouvez les documents complets dans Mon espace.
Découvrez notre façon d’expliquer : extraits des documents
Comprendre la méthode
Méthode 1 : Simplifier une expression avec les propriétés algébriques
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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Quand l’utiliser ?
L’énoncé dit « simplifier l’écriture », « écrire sous la forme e … », ou une expression contient des produits, des quotients ou des puissances d’exponentielles.
Ce qu’il faut savoir
Théorème (relation fonctionnelle) : pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x) × exp(y). Avec la notation e x, pour tous réels a et b et tout entier naturel n :
e⁰ = 1 — e¹ = e — e⁻¹ = — 1/e e a+b = e a × e b 1/(e a) (e a)/(e b) n/((e a) = e na) — e −a = — e a−b =
Ce sont les règles de calcul des exposants, comme pour les puissances 2ⁿ, 10ⁿ.
Les étapes
- Repère chaque produit, quotient ou puissance. — Chacun a sa règle.
- Écris chaque facteur sous la forme e …. — e¹ a = e −a, e = e¹ : tout devient une seule écriture.
- Calcule le nouvel exposant : on additionne pour un produit, on soustrait pour un quotient, on multiplie pour une puissance. — Mets l’exposant soustrait entre parenthèses.
- Réduis l’exposant. — Le résultat s’écrit e (une seule expression).
Exemple guidé
ÉNONCÉ
Simplifier l’écriture de chacun des nombres suivants, où x désigne un nombre réel :
- A = e 5x × e −2x ((e x))/(e x+1) — B= — C= — 1
(e −x) — 2
CORRIGÉ
A = e 5x+(−2x) = e 3x
B= — (e 3x)/(e x+1) car (e x) = e 3×x — 3
= e 3x−(x+1) = e 3x−x−1 = e 2x−1
C= — 1/(e −2x) car (e −x) = e 2×(−x) — 2
= e −(−2x) = e 2x — car e¹ a = e −a, avec a = −2x
A = e 3x, B = e 2x−1 et C = e 2x.
S’entraîner
Exercice 1 : Produits et puissances
Difficulté 1 sur 3
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
Lire l’extrait en texte
Simplifier l’écriture de chacun des nombres suivants, où x désigne un nombre réel :
A = e 2x × e −5x — B= — 1 — C = (e x) × e −2x — 4
(e 3x) — 2
Comprendre la correction
Corrigé de l'exercice 1 : Produits et puissances
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
Lire l’extrait en texte
A = e 2x+(−5x) = e −3x
B= = e −6x — 1/(e 6x) car (e 3x) = e 2×3x — 2
C = e 4x × e −2x = e 4x−2x = e 2x
A = e −3x, B = e −6x, C = e 2x.
Ce que vous apprendrez à faire
Les compétences du chapitre
Les 9 méthodes de la fiche méthode du chapitre :
- Simplifier une expression avec les propriétés algébriques
- Démontrer une égalité
- Reconnaître une suite géométrique
- Utiliser le signe et les variations de l’exponentielle
- Dériver une fonction faisant intervenir l’exponentielle
- Étudier les variations d’une fonction faisant intervenir l’exponentielle
- Résoudre une équation ou une inéquation
- Résoudre un problème de modélisation
- Utiliser la méthode d’Euler et approcher e
Dans ce chapitre
Vos documents pour travailler
- Fiche méthode19 pages · dans Mon espace
- Fiche d’exercices11 pages · dans Mon espace
- Corrigé détaillé14 pages · dans Mon espace
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