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Généralités sur les suites — Mathématiques Première
Comprenez les méthodes des généralités sur les suites, entraînez-vous et vérifiez votre raisonnement grâce aux corrigés détaillés. Découvrez trois extraits ; retrouvez les documents complets dans Mon espace.
Découvrez notre façon d’expliquer : extraits des documents
Comprendre la méthode
Méthode 1 : Calculer les termes d’une suite définie par une formule explicite
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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Quand l’utiliser ?
L’énoncé donne u n directement en fonction de n : « Soit (u n) la suite définie pour tout entier naturel n par u n = … n … », puis demande « Calculer u 0, u 1, u 10 », « Exprimer u n+1 en fonction de n ».
Ce qu’il faut savoir
- La suite (u n) est définie de façon explicite lorsqu’il existe une fonction f définie sur [0 ; +∞[ telle que u n = f(n).
- On peut alors calculer directement n’importe quel terme : pour u 10, on remplace n par 10, sans calculer les termes d’avant.
- u n+1 s’obtient en remplaçant n par (n + 1) ; u 2n, en remplaçant n par (2n). Les parenthèses sont obligatoires.
- Le k-ième terme d’une suite qui commence à u 0 est u k−1 : le 4 e terme est u 3.
Les étapes
- Repère à partir de quel rang la suite est définie. — Le premier terme n’est pas toujours u 0 : n — 1 n’existe pas pour n = 0.
- Écris la formule en remplaçant n par la valeur demandée, entre parenthèses. — Les parenthèses évitent les erreurs de signe, surtout avec un carré.
- Calcule en respectant les priorités : puissances, puis produits, puis sommes. — Dans −3 × 2², on calcule d’abord 2² = 4 : le résultat est −12, pas 36.
- Pour u n+1, remplace n par (n + 1), puis développe et réduis. — Le résultat doit être une expres- sion en n, simplifiée.
Exemple guidé
ÉNONCÉ
Soit (u n) la suite définie pour tout entier naturel n par u n = n² − 3n + 1. 1. Calculer u 0, u 1, u 2 et u 10. 2. Exprimer u n+1 en fonction de n.
CORRIGÉ
1.
u 0 = 0² − 3 × 0 + 1 = 1 u 1 = 1² − 3 × 1 + 1 = 1 − 3 + 1 = −1 u 2 = 2² − 3 × 2 + 1 = 4 − 6 + 1 = −1 u 10 = 10² − 3 × 10 + 1 = 100 − 30 + 1 = 71
u 0 = 1, u 1 = −1, u 2 = −1 et u 10 = 71.
2. Pour tout entier naturel n :
u n+1 = (n + 1)² − 3(n + 1) + 1 — on remplace n par (n + 1)
= n² + 2n + 1 − 3n − 3 + 1 — (a + b)² = a² + 2ab + b²
= n² − n − 1.
Pour tout entier naturel n, u n+1 = n² − n − 1.
S’entraîner
Exercice 1 : Premiers termes
Difficulté 1 sur 3
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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Soit (u n) la suite définie pour tout entier naturel n par u n = 3n² − 2. Calculer u — 0, u 1, u 2 et u 10.
Comprendre la correction
Corrigé de l'exercice 1 : Premiers termes
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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u 0 = 3 × 0² − 2 = −2 u 1 = 3 × 1² − 2 = 3 − 2 = 1 u 2 = 3 × 2² − 2 = 12 − 2 = 10 u 10 = 3 × 10² − 2 = 300 − 2 = 298
u 0 = −2, u 1 = 1, u 2 = 10 et u 10 = 298.
Ce que vous apprendrez à faire
Les compétences du chapitre
Les 16 méthodes de la fiche méthode du chapitre :
- Calculer les termes d’une suite définie par une formule explicite
- Calculer les termes d’une suite définie par une relation de récurrence
- Reconnaître le mode de génération et conjecturer une formule explicite
- Représenter graphiquement une suite
- Modéliser une situation ou un motif par une suite
- Étudier le sens de variation par le signe de la différence
- Étudier le sens de variation par le quotient de deux termes consécutifs
- Étudier le sens de variation avec la fonction associée
- Conjecturer la limite d’une suite
- Répondre à un vrai-faux sur une suite
- Lire un algorithme et dresser un tableau de suivi
- Calculer un terme ou une somme de termes avec une boucle
- Déterminer un seuil avec une boucle non bornée
- Créer et manipuler une liste
- Obtenir la liste des termes d’une suite
- Connaître les algorithmes de factorielle, de Syracuse et de Fibonacci
Dans ce chapitre
Vos documents pour travailler
- Fiche méthode36 pages · dans Mon espace
- Fiche d’exercices21 pages · dans Mon espace
- Corrigé détaillé24 pages · dans Mon espace
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