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Lycée · Première · Mathématiques · Chapitre S7A
Produit scalaire — Mathématiques Première
Comprenez les méthodes du produit scalaire, entraînez-vous et vérifiez votre raisonnement grâce aux corrigés détaillés. Découvrez trois extraits ; retrouvez les documents complets dans Mon espace.
Découvrez notre façon d’expliquer : extraits des documents
Comprendre la méthode
Méthode 1 : Calculer un produit scalaire avec les normes et un angle
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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Quand l’utiliser ?
L’énoncé donne deux longueurs et l’angle entre elles : « AB = 5, AC = 4 et BAC — ̂ = π », ou ∥ u∥, — 4 — ⃗ ∥ v∥ ⃗ et l’angle entre u ⃗ et v. ⃗
Ce qu’il faut savoir
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(• AB)⋅ ⃗⃗⃗AC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = AB × AC × cos(BAC) (̂ = ∥ AB∥)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ × ∥ AC∥) — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ × cos(BAC). — ̂
- Les deux vecteurs doivent partir du même point (A ici) : l’angle est celui qu’ils forment.
angle — 0 — π
- Valeurs remarquables : √3/2 π/6 √2/2 π/4 π/3 1/2 π/2 1/(−₂) 2π/3
cosinus — 1 — 0 — −1
(et cos (3π)/4) = − 2², cos (5π√/⁽⁾ = ⁻ ²³.⁾ — √
- Les étapes
- Repère les deux longueurs et l’angle entre les deux vecteurs. — Vérifie que les vecteurs partent du même point.
- Écris la formule. — C’est elle qui rapporte le premier point.
- Remplace, avec la valeur exacte du cosinus. — Le tableau ci-dessus.
- Calcule et simplifie. — On garde les racines : 2² × 20 = 10√2. — √
Exemple guidé
ÉNONCÉ
1. ABC est un triangle tel que AB = 5, AC = 4 et BAC — ̂ = π. Calculer ⃗⃗ AB — 4 — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⋅ ⃗⃗ AC. — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
2. u ⃗ et v ⃗ sont deux vecteurs tels que ∥ u∥ ⃗ = 2, ∥ v∥ ⃗ = 3, et l’angle entre u ⃗ et v ⃗ mesure 5π — 6 — . Calculer u ⃗ ⋅ v. ⃗
CORRIGÉ
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/AB⋅ ⃗⃗⃗AC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = AB × AC × cos(BAC) — ̂ = 5 × 4 × cos (π) = 20 × 2 = 10√2 — √
- 2
u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∥ u∥ ⃗ × ∥ v∥ ⃗ × cos ( — 5π/6) = 2 × 3 × (− √3/2 — ) = −3√3
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/AB⋅ ⃗⃗⃗AC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = 10√2 et u ⃗ ⋅ v ⃗ = −3√3.
S’entraîner
Exercice 1 : Une application directe
Difficulté 1 sur 3
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/ABet ⃗⃗⃗AC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ sont deux vecteurs tels que AB = 6, AC = 4 et BAC — ̂ = π. Calculer AB (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⋅ AC.) — 6
Comprendre la correction
Corrigé de l'exercice 1 : Une application directe
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⋅)/AB ⃗⃗⃗AC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = AB × AC × cos(BAC) — ̂ = 6 × 4 × cos (π) = 24 × 3 = 12√3 — √
- 2
AB — (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⋅ AC)
Ce que vous apprendrez à faire
Les compétences du chapitre
Les 8 méthodes de la fiche méthode du chapitre :
- Calculer un produit scalaire avec les normes et un angle
- Calculer un produit scalaire avec un projeté orthogonal
- Calculer un produit scalaire avec les coordonnées
- Calculer un produit scalaire avec les normes
- Choisir la méthode adaptée
- Utiliser la bilinéarité
- Démontrer une orthogonalité
- Calculer un angle, une longueur, une aire
Dans ce chapitre
Vos documents pour travailler
- Fiche méthode15 pages · dans Mon espace
- Fiche d’exercices9 pages · dans Mon espace
- Corrigé détaillé13 pages · dans Mon espace
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