Second degré — Mathématiques Première

Quand l’utiliser ?

L’énoncé demande « Montrer que f est une fonction polynôme du second degré », « Est-ce un polynôme du second degré ? », « Donner les coefficients a, b, c » ou « Nommer chacune de ces formes ».

Ce qu’il faut savoir

• f est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois réels a, b, c avec a ≠ 0 tels que, pour tout x de ℝ, f(x) = ax² + bx + c.
• a est le nombre devant x², b celui devant x, c le nombre seul ; chacun avec son signe.
• Si, après développement, les x² disparaissent, il reste mx + p : c’est une fonction affine, pas un polynôme du second degré.

Les étapes

1. Développe l’expression, s’il y a des parenthèses. — La définition parle de la forme ax² +bx+c : il faut l’obtenir.
2. Réduis : regroupe les termes en x², puis en x, puis les nombres seuls. — C’est seulement après réduction qu’on voit les coefficients.
3. Range dans l’ordre ax² + bx + c. — Le premier terme écrit n’est pas forcément a.
4. Vérifie que le coefficient de x² n’est pas nul. — C’est la condition a ≠ 0 de la définition.
5. Conclus avec la phrase de la classe, en donnant a, b et c. — C’est cette phrase qui rapporte les points.

1. Calculs de tête

(6x)² = 36x² ; (−3t)² = 9t² ; (x³)² = x⁶ ; (5a)² = 25a² ; (x/2)² = x²/4.

2.

a. 3(2x − 1)(4 − x) = 3(8x − 2x² − 4 + x)

= 3(−2x² + 9x − 4)

= −6x² + 27x − 12

b. (3x + 2)² = (3x)² + 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² + 12x + 4 — (a + b)²

c. (2x − 5)(2x + 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25 — (a − b)(a + b)

d. (4x − 3)² = (4x)² − 2 × 4x × 3 + 3² = 16x² − 24x + 9 — (a − b)²

−6x² + 27x − 12 ; 9x² + 12x + 4 ; 4x² − 25 ; 16x² − 24x + 9