← Tous les chapitres de mathématiques en première
Lycée · Première · Mathématiques · Chapitre S2b
Suites arithmétiques et suites géométriques — Mathématiques Première
Comprenez les méthodes des suites arithmétiques et suites géométriques, entraînez-vous et vérifiez votre raisonnement grâce aux corrigés détaillés. Découvrez trois extraits ; retrouvez les documents complets dans Mon espace.
Découvrez notre façon d’expliquer : extraits des documents
Comprendre la méthode
Méthode 1 : Montrer qu’une suite est arithmétique
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
Lire l’extrait en texte
Quand l’utiliser ?
L’énoncé demande « Montrer que la suite (u n) est arithmétique », « Reconnaître parmi ces suites celles qui sont arithmétiques et préciser leur premier terme et leur raison », ou une situation où l’on ajoute toujours la même quantité.
Ce qu’il faut savoir
- (u n) est arithmétique si et seulement si, pour tout n, la différence u n+1 − u n est un nombre constant r (qui ne dépend pas de n) : c’est la raison.
- Si u n+1 − u n dépend de n, la suite n’est pas arithmétique ; pour le prouver, un contre-exemple suffit : deux différences u 1 − u 0 et u 2 − u 1 qui ne sont pas égales.
- Une suite de la forme u n = an + b est arithmétique de raison a et de premier terme u 0 = b.
Les étapes
- Calcule u n+1 − u n pour tout n. — C’est la définition : on compare un terme au suivant.
- Simplifie jusqu’à voir si le résultat dépend de n. — S’il reste un n, la différence n’est pas con- stante.
- Si c’est un nombre fixe r, conclus en donnant la raison et le premier terme. — L’énoncé les demande presque toujours.
- Sinon, donne un contre-exemple chiffré avec les trois premiers termes. — C’est la preuve la plus courte qu’elle n’est pas arithmétique.
Exemple guidé
ÉNONCÉ
1. Soit (u n) définie pour tout n de ℕ par u n = 4n − 7. Montrer que (u n) est arithmétique. 2. Soit
(v n) définie par v n = n² + 1. Est-elle arithmétique ?
CORRIGÉ
1. Pour tout n de ℕ : u n+1 − u n = 4(n + 1) − 7 − (4n − 7)
= 4n + 4 − 7 − 4n + 7
= 4.
La suite (u n) est arithmétique de raison r = 4 et de premier terme u 0 = 4 × 0 − 7 = −7.
2. v 0 = 1, v 1 = 2, v 2 = 5 : v 1 − v 0 = 1 et v 2 − v 1 = 3. Les différences ne sont pas égales.
La suite (v n) n’est pas arithmétique.
S’entraîner
Exercice 1 : Formules explicites
Difficulté 1 sur 3
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
Lire l’extrait en texte
Parmi les suites définies sur ℕ ci-dessous, reconnaître celles qui sont arithmétiques et préciser leur premier terme et leur raison.
- a. u n = 5 − 2n (2n −)/3¹
- b. u n = 3n² − 1 1/(n+2)
- c. u n =
- d. u n = 4 +
- e. u n = 7n + 3
- f. u n = n√3
Comprendre la correction
Corrigé de l'exercice 1 : Formules explicites
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
Lire l’extrait en texte
a. Pour tout n de ℕ : u n+1 − u n = 5 − 2(n + 1) − (5 − 2n)
= 5 − 2n − 2 − 5 + 2n
= −2.
(u n) est arithmétique de raison r = −2 et de premier terme u 0 = 5.
b. u 0 = −1, u 1 = 2, u 2 = 11 : u 1 − u 0 = 3 et u 2 − u 1 = 9. Les différences ne sont pas égales.
(u n) n’est pas arithmétique.
c. Pour tout n de ℕ :
u n+1 − u n = (2(n + 1))/3⁻¹ (2n −)/3¹ — −
= — (2n + 1 −)/3
(2/(=.))/3
(u n) est arithmétique de raison r = 2/3 1/3 — et de premier terme u 0 = −.
d.
u 0 = 4 + — 1/2 = 9/2, u 1 = 4 + 1/3 = 13/3 1/(, u 2 = 4 + =) 4/52 17/4.
u 1 − u 0 = — − = − et u 2 − u 1 = — − — 12 =− — 26/6 27/6 1/6 51/12 1/12. Les différences ne sont pas égales.
(u n) n’est pas arithmétique.
e. u n = 7n + 3 est de la forme an + b : pour tout n, u n+1 − u n = 7(n + 1) + 3 − (7n + 3) = 7.
(u n) est arithmétique de raison r = 7 et de premier terme u 0 = 3.
f. Pour tout n, u n+1 − u n = (n + 1)√3 − n√3 = √3.
(u n) est arithmétique de raison r = √3 et de premier terme u 0 = 0.
Ce que vous apprendrez à faire
Les compétences du chapitre
Les 12 méthodes de la fiche méthode du chapitre :
- Montrer qu’une suite est arithmétique
- Montrer qu’une suite est géométrique
- Écrire la formule explicite et calculer un terme
- Modéliser une évolution par une suite arithmétique ou géométrique
- Démontrer l’expression du terme général
- Calculer une somme de termes d’une suite arithmétique
- Calculer une somme de termes d’une suite géométrique
- Démontrer les formules des sommes
- Déterminer le sens de variation
- Conjecturer la limite d’une suite arithmétique ou géométrique
- Étudier une suite à l’aide d’une suite auxiliaire
- Écrire un algorithme de somme ou de seuil
Dans ce chapitre
Vos documents pour travailler
- Fiche méthode25 pages · dans Mon espace
- Fiche d’exercices16 pages · dans Mon espace
- Corrigé détaillé24 pages · dans Mon espace
Mon espace et Delta Déclic
Continuez avec le chapitre complet
Retrouvez les fiches méthode, les exercices et leurs corrigés détaillés dans Delta Déclic.
Élèves du centre : les matières de votre contrat sont incluses. Pour une autre matière, faites la demande depuis votre espace : elle est soumise à la validation du parent, selon les conditions affichées.
Sans inscription au centre : accès par l’abonnement Delta Déclic.
Documents complets réservés à Mon espace : ils ne sont jamais publiés sur cette page.
Centre de soutien scolaire Delta
Besoin d’un accompagnement avec un professeur ?
À Meaux, Delta Soutien Scolaire propose des cours hebdomadaires et des stages intensifs en mathématiques, physique-chimie, français et philosophie. Accompagnement individualisé en petit groupe, préparation au brevet et au bac selon les matières et les sessions proposées.