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Lycée · Seconde · Mathématiques · Chapitre G1-3
Colinéarité — Mathématiques Seconde
Comprenez les méthodes de la colinéarité, entraînez-vous et vérifiez votre raisonnement grâce aux corrigés détaillés. Découvrez trois extraits ; retrouvez les documents complets dans Mon espace.
Découvrez notre façon d’expliquer : extraits des documents
Comprendre la méthode
Méthode 1 : Reconnaître deux vecteurs colinéaires
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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Quand l’utiliser ?
L’énoncé dit « ces vecteurs sont-ils colinéaires ? », « compléter v ⃗ = … u ⃗ », ou montre des vecteurs sur un quadrillage.
Ce qu’il faut savoir — ton cours
- Deux vecteurs u ⃗ et v ⃗ non nuls sont colinéaires s’il existe un nombre réel k tel que u ⃗ = k v. ⃗ Autrement dit, ils ont la même direction (même sens si k > 0, sens contraires si k < 0).
- Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
- Si u ⃗ = k v ⃗ avec k ≠ 0, alors v ⃗ = 1/k — u. ⃗
Dans certains exercices, le nombre s’appelle λ (« lambda ») : c’est une lettre comme k. Pour montrer qu’une affirmation est fausse, un contre-exemple suffit : un cas précis où elle ne marche pas.
Les étapes
- Pour chaque vecteur, compte son déplacement sur le quadrillage : tant de carreaux vers la droite (ou la gauche), tant vers le haut (ou le bas). — C’est ce qui décrit le vecteur.
- Compare les deux déplacements : l’un est-il celui de l’autre multiplié par un même nombre k, dans les deux directions ? — Le même k pour « horizontal » et pour « vertical ».
- Si oui, écris l’égalité v ⃗ = k u ⃗ : les vecteurs sont colinéaires. Sinon, ils ne le sont pas. — Un k négatif change le sens.
Exemple guidé
ÉNONCÉ
Sur le quadrillage ci-contre, les vecteurs v ⃗
v ⃗
et w ⃗ sont-ils colinéaires à u ⃗ ? Si oui, écrire
l’égalité v ⃗ = k u ⃗ en donnant le nombre k, puis — u ⃗ exprimer u ⃗ en fonction de v. ⃗ w ⃗
CORRIGÉ
u ⃗ : 2 carreaux vers la droite, 1 vers le haut.
v ⃗ : 4 carreaux vers la gauche, 2 vers le bas : c’est le déplacement de u ⃗ multiplié par −2 (car 2×(−2) = −4 et 1 × (−2) = −2).
v ⃗ = −2 u ⃗ : u ⃗ et v ⃗ sont colinéaires.
Comme v ⃗ = −2 u ⃗ et −2 ≠ 0, u ⃗ = 1/(1/(−2) v ⃗ = − v. ⃗) — 2
w ⃗ : 3 vers la droite, 1 vers le haut. Pour passer de 2 à 3, il faudrait k = 2 — 3 ; pour passer de 1 à 1, il faudrait k = 1. Ce n’est pas le même nombre.
w ⃗ n’est pas colinéaire à u. ⃗
S’entraîner
Exercice 1 : Sur un quadrillage
Difficulté 1 sur 3
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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v ⃗₃
v ⃗₅ — v ⃗₄
u ⃗ — v ⃗₁
v ⃗₂
Parmi v ⃗ 1, v ⃗ 2, v ⃗ 3, v ⃗ 4, v ⃗ 5, lesquels sont colinéaires à u ⃗ ? Pour chacun, compléter v ⃗ i = … u. ⃗
Comprendre la correction
Corrigé de l'exercice 1 : Sur un quadrillage
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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u ⃗ : 3 carreaux vers la droite, 1 vers le haut.
v ⃗ 1 : 6 vers la gauche, 2 vers le bas : 3 × (−2) = −6 et 1 × (−2) = −2, donc v ⃗ 1 = −2 u. ⃗
v ⃗ 2 : 6 vers la droite, 3 vers le haut : il faudrait k = 2 (pour 3 → 6) et k = 3 (pour 1 → 3) : pas colinéaire.
v ⃗ 3 : 3 vers la gauche, 1 vers le bas : v ⃗ 3 = − u. ⃗
v ⃗ 4 : 9 vers la droite, 3 vers le haut : v ⃗ 4 = 3 u. ⃗
v ⃗ 5 : 2 vers la droite, 1 vers le haut : il faudrait k = 3 — 2 — puis k = 1 : pas colinéaire.
v ⃗ 1 = −2 u, ⃗ v ⃗ 3 = − u, ⃗ v ⃗ 4 = 3 u ⃗ sont colinéaires à u ⃗ ; v ⃗ 2 et v ⃗ 5 ne le sont pas.
Ce que vous apprendrez à faire
Les compétences du chapitre
Les 9 méthodes de la fiche méthode du chapitre :
- Reconnaître deux vecteurs colinéaires
- Traduire une égalité de vecteurs en configuration
- Exprimer un vecteur avec la relation de Chasles
- Démontrer que trois points sont alignés
- Démontrer que deux droites sont parallèles
- Colinéarité et proportionnalité des coordonnées
- Calculer un déterminant et conclure
- Points alignés, droites parallèles avec des coordonnées
- Résoudre un problème avec des coordonnées
Dans ce chapitre
Vos documents pour travailler
- Fiche méthode17 pages · dans Mon espace
- Fiche d’exercices9 pages · dans Mon espace
- Corrigé détaillé12 pages · dans Mon espace
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