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Lycée · Seconde · Mathématiques · Chapitre NC2
Intervalles — Mathématiques Seconde
Comprenez les méthodes des intervalles, entraînez-vous et vérifiez votre raisonnement grâce aux corrigés détaillés. Découvrez trois extraits ; retrouvez les documents complets dans Mon espace.
Découvrez notre façon d’expliquer : extraits des documents
Comprendre la méthode
Méthode 1 : Lire et écrire un intervalle
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Quand l’utiliser ?
L’énoncé décrit des nombres par une phrase (« compris entre −3 exclu et 5 inclus », « supérieurs ou égaux à 2 »), demande si un intervalle est ouvert ou fermé, ou emploie +∞, −∞, ℝ⁺, ℝ ∗, ℝ\{5}.
Ce qu’il faut savoir
- L’ensemble des nombres réels compris entre a (inclus) et b (inclus) est appelé intervalle et se note [a ; b]. a et b sont les bornes de l’intervalle. On écrit toujours la plus petite borne à gauche.
- Un crochet tourné vers l’intérieur veut dire « inclus » ; tourné vers l’extérieur, « exclu ». ]a ; b] : a exclu, b inclus. [a ; b[: a inclus, b exclu.
- Sur la droite des réels (méthode 4), on voit les crochets « embrasser » ou « repousser » la borne :
]−3 ; 5] : le crochet de −3 la repousse (exclue), celui de 5
−3 — 5 l’embrasse (incluse).
- Un intervalle est fermé en a si la borne a appartient à l’intervalle, ouvert en a sinon. Il est fermé si ses deux bornes lui appartiennent.
- −∞ et +∞ se disent « moins l’infini » et « plus l’infini ». Ce ne sont pas des nombres : les intervalles sont toujours ouverts en −∞ et en +∞. Exemple : [2 ; +∞[.
- ℝ =]−∞ ; +∞[; ℝ⁺ = [0 ; +∞[(réels positifs) ; ℝ⁻ =]−∞ ; 0] (réels négatifs) ; ℝ ∗ = ℝ\{0} (réels
non nuls) ; ℝ ∗ — + =]0 ; +∞[; ℝ − =]−∞ ; 0[. — ∗
- {7} est l’ensemble qui ne contient que le nombre 7. ℝ\{5} (on lit « ℝ privé de 5 », on écrit aussi ℝ − {5}) contient tous les réels sauf 5.
Les étapes
- Repère la plus petite borne et la plus grande. — La plus petite s’écrit à gauche ; s’il n’y en a pas, c’est −∞ (à gauche) ou +∞ (à droite).
- Pour chaque borne, demande-toi : « inclus » ou « exclu » ? — C’est ce qui décide du sens du crochet.
- Écris les crochets : vers l’intérieur si la borne est incluse, vers l’extérieur si elle est exclue ou infinie. — Du côté de l’infini, le crochet est toujours tourné vers l’extérieur.
Exemple guidé
ÉNONCÉ
1. Écrire sous forme d’intervalle l’ensemble des réels compris entre −3 exclu et 5 inclus. Est-il ouvert ou fermé en −3 ? en 5 ?
2. Écrire ℝ⁻ sous forme d’intervalle.
CORRIGÉ
1. Bornes : −3 à gauche, 5 à droite.
−3 est exclu : devant −3, le crochet est tourné vers l’extérieur («]−3 »).
5 est inclus : après 5, le crochet est tourné vers l’intérieur (« 5] »).
On réunit les deux morceaux en une seule écriture.
L’intervalle est ouvert en −3 et fermé en 5.
2. ℝ⁻ contient les réels négatifs, 0 compris : de −∞ (crochet ouvert) à 0 inclus.
]−3 ; 5], ouvert en −3, fermé en 5 ; ℝ⁻ =]−∞ ; 0].
S’entraîner
Exercice 1 : Vrai ou faux
Difficulté 1 sur 3
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Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en une phrase.
1. L’intervalle]2 ; 7] est fermé en 2.
2. L’intervalle [−1 ; 4] est un intervalle fermé.
3. −∞ est un nombre réel.
4. L’écriture [3 ; +∞] est correcte.
5.]0 ; +∞[est l’ensemble des réels strictement positifs.
6. {7} est l’ensemble qui ne contient que le nombre 7.
Comprendre la correction
Corrigé de l'exercice 1 : Vrai ou faux
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1. Faux : le crochet]2 est tourné vers l’extérieur, 2 n’appartient pas à l’intervalle ; il est ouvert en 2.
2. Vrai : ses deux bornes −1 et 4 lui appartiennent.
3. Faux : −∞ n’est pas un nombre, c’est une notation (« moins l’infini »).
4. Faux : un intervalle est toujours ouvert en +∞ ; on écrit [3 ; +∞[.
5. Vrai :]0 ; +∞[contient les réels x tels que x > 0.
6. Vrai : {7} est l’ensemble dont le seul élément est 7.
Ce que vous apprendrez à faire
Les compétences du chapitre
Les 10 méthodes de la fiche méthode du chapitre :
- Lire et écrire un intervalle
- Passer d’une inégalité à un intervalle
- Passer d’un intervalle à une inégalité
- Représenter sur la droite des réels, lire une représentation
- Appartenance d’un nombre, inclusion d’un intervalle
- Déterminer une intersection d’intervalles
- Déterminer une réunion d’intervalles
- Traduire « et », « ou »
- Résoudre une équation du premier degré (questions flash)
- Complément : le complémentaire, et tester en Python Au programme, pas encore traité en classe.
Dans ce chapitre
Vos documents pour travailler
- Fiche méthode19 pages · dans Mon espace
- Fiche d’exercices11 pages · dans Mon espace
- Corrigé détaillé14 pages · dans Mon espace
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