Dérivation et convexité — Mathématiques Terminale

Quand l’utiliser ?

L’énoncé donne deux fonctions u et v et demande « v ∘ u », « u ∘ v », ou « la fonction composée de u par v », avec son ensemble de définition.

Ce qu’il faut savoir

• (v ∘ u)(x) = v(u(x)) : on applique d’abord u, puis v (on lit de droite à gauche).
• Pour que v(u(x)) existe, il faut deux choses : que u(x) existe (x ∈ D u), puis que v accepte ce nombre (u(x) ∈ D v). C’est l’ensemble de définition de v ∘ u.
• En général, v ∘ u ≠ u ∘ v.

Les étapes

1. Écris (v ∘ u)(x) = v(u(x)), puis remplace la variable de v par l’expression de u(x). — C’est la définition : on « met u(x) dans v ».
2. Écris la condition « u(x) ∈ D v » sous forme d’inéquation ou de valeur interdite. — C’est elle qui donne l’ensemble de définition.
3. Résous-la, et garde seulement les x de D u. — Il faut aussi que u(x) existe.

1. (v ∘ u)(x) = v(3x − 6) = √3x − 6. Il faut 3x − 6 ≥ 0 :

3x − 6 ≥ 0 ssi — 3x ≥ 6

ssi — x≥2

(v ∘ u)(x) = √3x − 6, définie sur [2 ; +∞[.

(u ∘ v)(x) = u(√x) = 3√x − 6 ; il faut seulement x ≥ 0.

(u ∘ v)(x) = 3√x − 6, définie sur [0 ; +∞[.

2.

(v ∘ u)(x) = 1/(x² − 4) — . Il faut x² − 4 ≠ 0 : x² − 4 = 0 ssi x² = 4 ssi x = −2 ou x = 2.

(v ∘ u)(x) = 1/(x² − 4) , définie sur ℝ ∖ {−2 ; 2}.

(u ∘ v)(x) = u (1/x) = (1/x) − 4 = 2 − 4 ; il faut x ≠ 0. — 2 — 1

x

(u ∘ v)(x) = 1/x² — − 4, définie sur ℝ ∗.

3. (v ∘ u)(x) = e 2x+1 et (u ∘ v)(x) = 2 e x + 1 : u et v sont définies sur ℝ, il n’y a aucune condition.

(v ∘ u)(x) = e 2x+1 et (u ∘ v)(x) = 2 e x + 1, définies sur ℝ.