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Lycée · Terminale · Mathématiques · Chapitre S3
Limites de fonctions et continuité — Mathématiques Terminale
Comprenez les méthodes des limites de fonctions et continuité, entraînez-vous et vérifiez votre raisonnement grâce aux corrigés détaillés. Découvrez trois extraits ; retrouvez les documents complets dans Mon espace.
Découvrez notre façon d’expliquer : extraits des documents
Comprendre la méthode
Méthode 1 : Lire ou conjecturer une limite et une asymptote
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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Quand l’utiliser ?
L’énoncé donne une courbe, un tableau de variations, un tableau de valeurs (calculatrice) ou un programme, et demande de « conjecturer » ou de « lire » les limites, puis les asymptotes.
Ce qu’il faut savoir
- Une limite ne se lit qu’aux bornes de l’ensemble de définition : en −∞, en +∞, et de chaque côté d’une valeur interdite.
- Dans un tableau de variations, une double barre en a signale une valeur interdite : il y a une limite à gauche et une limite à droite.
- Une lecture graphique donne une conjecture : elle se démontre ensuite par le calcul (méthodes 2 à 6).
Les étapes
- Repère les bornes de l’ensemble de définition. — Ce sont les seuls endroits où une limite se lit.
- À chaque borne infinie, lis la valeur vers laquelle va f(x) : un réel ℓ donne une asymptote horizontale y = ℓ. — C’est la définition de l’asymptote horizontale.
- À chaque valeur interdite a, lis la limite à gauche, puis à droite : si l’une est infinie, la droite x = a est asymptote verticale. — Les deux côtés peuvent donner des limites différentes.
- Rédige chaque limite avec la notation du cours, une par ligne. — « f tend vers… » seul ne rapporte pas les points.
Exemple guidé
ÉNONCÉ
Le tableau de variations ci-dessous est celui d’une fonction f définie sur] − ∞ ; 2[∪]2 ; +∞[. Donner les limites de f aux bornes de son ensemble de définition, puis les asymptotes de sa courbe C f.
x — −∞ — 2 — +∞
- +∞
f(x)
−∞ — −1
CORRIGÉ
Les bornes sont −∞, 2 (valeur interdite, double barre) et +∞. ((lim f(x))/(x→−∞)=⁴ lim f(x))/(x→+∞)
((lim f(x))/x→2=⁻∞ lim f(x))/x→2
x<2 — x>2
x→−∞ — lim f(x) = 4, donc la droite d’équation y = 4 est asymptote horizontale à C f en −∞.
x→+∞ — lim f(x) = −1, donc la droite d’équation y = −1 est asymptote horizontale à C f en +∞. x→2/x<2 lim f(x) = −∞, donc la droite d’équation x = 2 est asymptote verticale à C f.
Asymptotes : y = 4 en −∞, y = −1 en +∞, x = 2.
S’entraîner
Exercice 1 : Lire une courbe définie sur ℝ
Difficulté 1 sur 3
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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On a représenté ci-dessous la courbe C f d’une fonction f définie sur ℝ, et la droite d’équation y = 2 (en pointillés).
y
- 1 x
−4 — −2 — 1
−2
1. Conjecturer les limites de f en −∞ et en +∞.
2. Préciser les asymptotes éventuelles à C f.
3. Dresser le tableau de variations de f.
Comprendre la correction
Corrigé de l'exercice 1 : Lire une courbe définie sur ℝ
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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1. Limites conjecturées Quand x tend vers −∞, la courbe se rapproche de la droite d’équation y = 2 ; quand x tend vers +∞, elle descend sans limite.
On conjecture lim f(x) = 2 (lim f(x))/(x→+∞)=⁻∞. — x→−∞ — et
2. Asymptotes
La droite d’équation y = 2 est asymptote horizontale à C f en −∞.
Il n’y a pas d’asymptote horizontale en +∞ : la limite y est infinie. Il n’y a pas d’asymptote verticale : f est définie sur tout ℝ.
3. Tableau de variations La courbe descend sur tout ℝ : f est décroissante.
x — −∞ — +∞
f(x) — 2
−∞
8 Piège à éviter Dans un tableau de variations, la valeur 2 placée en −∞ est une limite : f(x) s’en approche quand x tend vers −∞. Ici, elle n’est pas atteinte, car la courbe reste sous la droite y = 2. On ne peut pas écrire f(−∞) = 2.
Ce que vous apprendrez à faire
Les compétences du chapitre
Les 16 méthodes de la fiche méthode du chapitre :
- Lire ou conjecturer une limite et une asymptote
- Calculer une limite avec les opérations
- Reconnaître une forme indéterminée
- Lever une forme indéterminée en ±∞
- Calculer une limite à gauche et à droite en un réel
- Lever une forme indéterminée « 0⁰ » en un réel
- Calculer la limite d’une fonction composée
- Lever une forme indéterminée avec une racine carrée
- Utiliser le théorème de comparaison
- Utiliser le théorème des gendarmes
- Utiliser les croissances comparées
- Étudier la continuité d’une fonction
- Compter les solutions de f(x) = k sur un tableau de variations
- Démontrer qu’une équation admet une unique solution
- Encadrer une solution : balayage et dichotomie
- Étudier une suite u n+1 = f(u n) avec la continuité
Dans ce chapitre
Vos documents pour travailler
- Fiche méthode34 pages · dans Mon espace
- Fiche d’exercices20 pages · dans Mon espace
- Corrigé détaillé39 pages · dans Mon espace
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