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Lycée · Terminale · Mathématiques · Chapitre S7
Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace — Mathématiques Terminale
Comprenez les méthodes du produit scalaire et orthogonalité dans l'espace, entraînez-vous et vérifiez votre raisonnement grâce aux corrigés détaillés. Découvrez trois extraits ; retrouvez les documents complets dans Mon espace.
Découvrez notre façon d’expliquer : extraits des documents
Comprendre la méthode
Méthode 1 : Calculer un produit scalaire dans une figure
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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Quand l’utiliser ?
L’énoncé donne un cube ou un pavé (des longueurs, pas de coordonnées) et demande des produits ((⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(scalaires AB))/(⃗ ⃗ ⃗⃗)
Ce qu’il faut savoir
(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(• Si ⃗⃗ AB)et⃗⃗AC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ sont orthogonaux (arêtes perpendiculaires), leur produit scalaire est nul.
- Projeté : on projette l’extrémité du second vecteur sur la droite qui porte le premier.
- On peut remplacer un vecteur par un vecteur égal (⃗⃗ BC — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = AD — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ dans un cube) et découper avec la relation de Chasles.
Les étapes
- Remplace, si besoin, un vecteur par un vecteur égal porté par une arête ou une diagonale connue. — Tu ramènes le calcul à des vecteurs dont tu connais les directions.
- Si l’un des vecteurs est oblique (une diagonale), découpe-le avec la relation de Chasles en vecteurs portés par les arêtes. — Les arêtes sont deux à deux orthogonales ou colinéaires.
- Développe par bilinéarité, puis calcule chaque produit : 0 si orthogonaux, ± produit des longueurs si colinéaires. — C’est la formule du projeté.
Exemple guidé
ÉNONCÉ
ABCDEFGH est un cube d’arête 3. Calculer a. AB (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(((⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⋅ AG);b.AD ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ BC);c. ⃗⃗⃗AE ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ HC.)
H — G
E
F
D
C
A — B
CORRIGÉ
a. AG — ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ est oblique : on le découpe sur les arêtes, AG — (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ = AB)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + BC) ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + CG. — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ Par bilinéarité :
(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/((⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(⃗⃗ AB)⋅⃗⃗⃗AG (⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ AB)/(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⋅ ⃗⃗ AB) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ AB)⋅⃗⃗BC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ AB — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⋅ ⃗⃗ CG — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
= AB² + 0 + 0 — car (BC) ⟂ (AB) et (CG) ⟂ (AB) (arêtes)
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/AB⋅ ⃗⃗⃗AG ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ = 3 × 3 = 9
b. BC — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ ⃗⃗ BC — (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ AD,)/(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ donc ⃗⃗ AD (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗)/(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ ⃗⃗ AD)=AD².) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ AD
(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗)/(⃗⃗ AD) — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = 9
c. EHCB est un rectangle (le côté [EH] est parallèle à [BC] et de même longueur), donc ⃗⃗ HC (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ EB)/(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ :)
on remplace HC — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ par ce vecteur égal, qui part d’un sommet de l’arête [AE]. Puis, par la relation de
⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + AB — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = − AE — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + AB. — (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(Chasles, EB)=EA ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ Par bilinéarité :
AE — (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ HC)= ⃗⃗⃗AE ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ (− AE — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + AB) — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
= −⃗⃗ AE — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ ⃗⃗ AE — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + ⃗⃗ AE — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ ⃗⃗ AB — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
= −AE² + 0 — car (AE) ⟂ (AB)
(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗)/(⃗⃗ AE)⋅⃗⃗HC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = −9
S’entraîner
Exercice 1 : Dans un cube
Difficulté 1 sur 3
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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ABCDEFGH est un cube d’arête 4. Calculer :
(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(1. ⃗⃗ AB) — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ;
2. AE — (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ BG)
3. ⃗⃗ AD — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ ⃗⃗ FB — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ;
4. EH — (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⋅ CB)
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗)/(5. AF)⋅ ⃗⃗⃗AH ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (on pourra remarquer que le triangle AFH est équilatéral).
Comprendre la correction
Corrigé de l'exercice 1 : Dans un cube
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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Le cube a pour arête 4 ; ses arêtes issues d’un même sommet sont perpendiculaires deux à deux.
1. Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est B (car (BC) ⟂ (AB)), du même côté que B :
(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⋅)/(⃗⃗ AB)⃗⃗AC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = AB × AB = 4 × 4 = 16
2.
⃗⃗ BG — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ BC — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ CG, — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ donc par bilinéarité ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ — AE ⋅ ⃗⃗ BG — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ — AE ⋅ ⃗⃗ BC — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ — AE ⋅ ⃗⃗ CG. — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ (AE) est orthogonale au plan (ABC), qui contient (BC) : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(AE ⋅ BC)=⁰.
⃗⃗ CG — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ — AE : AE ⋅ CG = AE = 16. — ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ — ⃗⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — 2
(AE ⋅)/⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗BG ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = 0 + 16 = 16
3. (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/FB= EA,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et (AD), (AE) sont deux arêtes issues de A : (AD) ⟂ (AE).
⃗⃗ AD — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ ⃗⃗ FB — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = 0
4.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ et ⃗⃗ CB — (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(⃗⃗ EH)=⃗⃗BC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = −⃗⃗ BC — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ : les deux vecteurs sont colinéaires de sens contraires.
(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⋅)/(⃗⃗ EH)⃗⃗CB ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = −BC² = −16
5. [AF], [FH] et [AH] sont des diagonales de faces carrées de côté 4 : elles mesurent 4√2, donc AFH est équilatéral ̂/(et FAH)
⃗⃗ AF — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅ ⃗⃗ AH — ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = AF × AH × cos(60 ∘) = 4√2 × 4√2 × 1 = 32 × 1
- 2
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⋅)/AF — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = 16
Ce que vous apprendrez à faire
Les compétences du chapitre
Les 17 méthodes de la fiche méthode du chapitre :
- Calculer un produit scalaire dans une figure
- Calculer un produit scalaire à partir des normes
- Calculer un produit scalaire, une norme, une distance en coordonnées
- Calculer un angle avec le produit scalaire
- Démontrer une orthogonalité en coordonnées
- Démontrer qu’un vecteur est normal à un plan, sans repère
- Montrer que le plan (ABC) existe et trouver un vecteur normal
- Déterminer une équation cartésienne d’un plan
- Exploiter une équation cartésienne donnée
- Étudier la position relative de deux plans
- Étudier la position relative d’une droite et d’un plan
- Déterminer une représentation paramétrique d’un plan
- Déterminer la droite orthogonale à un plan passant par un point
- Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur un plan et la distance
- Calculer la distance d’un point à un plan par la formule du cours
- Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur une droite
- Refaire les deux démonstrations du cours
Dans ce chapitre
Vos documents pour travailler
- Fiche méthode32 pages · dans Mon espace
- Fiche d’exercices16 pages · dans Mon espace
- Corrigé détaillé27 pages · dans Mon espace
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