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Lycée · Terminale · Mathématiques · Chapitre S1
Suites et raisonnement par récurrence — Mathématiques Terminale
Comprenez les méthodes des suites et raisonnement par récurrence, entraînez-vous et vérifiez votre raisonnement grâce aux corrigés détaillés. Découvrez deux extraits ; retrouvez les documents complets dans Mon espace.
Découvrez notre façon d’expliquer : extraits des documents
S’entraîner
Exercice 1 : Inégalité simple : majorer une suite
Difficulté 1 sur 3
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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Soit (u n) la suite définie par u 0 = 2 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,4 u n + 3.
1. Calculer u 1 et u 2.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n ≤ 5.
Comprendre la correction
Corrigé de l'exercice 1 : Inégalité simple : majorer une suite
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
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1. Calcul de u 1 et u 2
u 1 = 0,4 × 2 + 3 = 3,8, — u 2 = 0,4 × 3,8 + 3 = 4,52.
u 1 = 3,8 — et — u 2 = 4,52
2. Démonstration par récurrence On pose, pour tout entier naturel n, P(n) : « u n ≤ 5 ». Initialisation On sait que u 0 = 2. Or 2 ≤ 5, donc u 0 ≤ 5. Ainsi P(0) est vraie. Hérédité On suppose que P(k) est vraie pour un certain entier naturel k. On montre que P(k + 1) est vraie, c’est-à-dire que u k+1 ≤ 5.
u k ≤ 5 — par hypothèse de récurrence
d’où 0,4 u k ≤ 0,4 × 5 — car 0,4 > 0
ainsi 0,4 u k + 3 ≤ 2 + 3
donc u k+1 ≤ 5. Donc P(k + 1) est vraie.
Conclusion La propriété est initialisée pour n = 0 et héréditaire, donc d’après le principe de récurrence :
Pour tout entier naturel n, u n ≤ 5 : la suite (u n) est majorée par 5.
+ Astuce Le nombre 5 n’est pas pris au hasard : c’est la valeur qui vérifie 0,4 × 5 + 3 = 5. C’est pour cela que la dernière ligne « retombe » exactement sur 5.
Ce que vous apprendrez à faire
Les compétences du chapitre
Les 18 méthodes de la fiche méthode du chapitre :
- Démontrer une inégalité simple : majorer ou minorer une suite
- Démontrer un encadrement
- Démontrer le sens de variation par récurrence
- Faire une récurrence avec une fonction croissante
- Démontrer l’expression de u n en fonction de n
- Démontrer une formule de somme
- Démontrer une inégalité où il faut minorer finement (Bernoulli)
- Calculer une limite avec les opérations
- Lever une forme indéterminée
- Utiliser le théorème de comparaison
- Utiliser le théorème des gendarmes
- Trouver la limite d’une suite géométrique ou d’une somme géométrique
- Montrer qu’une suite converge et trouver sa limite
- Modéliser une évolution par une suite
- Conjecturer le comportement d’une suite
- Étudier le sens de variation avec u n+1 − u n
- Étudier une suite arithmético-géométrique avec une suite auxiliaire
- Trouver un seuil : calculatrice et algorithme
Dans ce chapitre
Vos documents pour travailler
- Fiche méthodedans Mon espace
- Fiche d’exercices18 pages · dans Mon espace
- Corrigé détaillé42 pages · dans Mon espace
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