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Lycée · Terminale · Mathématiques · Chapitre S2
Vecteurs, droites et plans de l'espace — Mathématiques Terminale
Comprenez les méthodes des vecteurs, droites et plans de l'espace, entraînez-vous et vérifiez votre raisonnement grâce aux corrigés détaillés. Découvrez deux extraits ; retrouvez les documents complets dans Mon espace.
Découvrez notre façon d’expliquer : extraits des documents
S’entraîner
Exercice 1 : Lire une figure de l’espace
Difficulté 1 sur 3
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
Lire l’extrait en texte
ABCDEFGH est un pavé droit. On note I le milieu de [AB], N le centre de la face BCGF et L le milieu de [HG].
H — L — G
E
F N D
C
A — I — B
1. Citer tous les vecteurs égaux à AC — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ dont les extrémités sont des sommets du pavé.
2. Citer tous les vecteurs égaux à AF — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ dont les extrémités sont des sommets du pavé.
3. Recopier et compléter à l’aide d’un sommet du pavé.
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(a. AB) — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = A — ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ … — ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗)/(b. AD) — ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ … — ⃗ ⃗⃗⃗⃗
c. ⃗⃗ AB — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ AD — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗⃗⃗ A — ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ … — ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(d. AB)⁺ ⃗⃗⃗AD ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + AE — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = A — ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ … — ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗
4. Recopier et compléter par un sommet du pavé ou par l’un des points I, N, L. Attention : la lettre manquante n’est pas toujours à la même place.
(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(a. ⃗⃗ AB)⁺⃗⃗BC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ CG — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ … — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ G — ⃗ ⃗ ⃗⃗
b. ⃗⃗ BG — (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = 2⃗⃗ N)/(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ …) — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
(((⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = 1 …)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ G))/(c. HL))/2 — ⃗ ⃗ ⃗⃗
d. ⃗⃗ … — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ N — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ NF — ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ = ⃗⃗ AF — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗)/(e. IB) — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = … — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ F — ⃗ ⃗ ⃗⃗
5. Simplifier les expressions suivantes.
a. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ — (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(EF + FG) — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
(b. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)/(HD + DA) ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + AB — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
c. ⃗⃗ AC — (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ − ⃗⃗ AB)/(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(d. BG) — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
Comprendre la correction
Corrigé de l'exercice 1 : Lire une figure de l’espace
Extrait — suite disponible dans Delta Déclic
Lire l’extrait en texte
1.
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/AC= ⃗⃗⃗EG ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ (diagonales des faces ABCD et EFGH, qui se correspondent par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ — AE).
2. (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗)/AF= ⃗⃗⃗DG ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (diagonales des faces ABFE et DCGH).
3.
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ +)/(a. AB)BF (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = AF)/⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (relation de Chasles) (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ +)/(b. AD)DH — ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AH — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (relation de Chasles)
c. AB + AD = AC (règle du parallélogramme : ABCD est un rectangle) — ⃗⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗
⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = AG — (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ +)/(d. AB)AD (⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (car ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)/((⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ +)/(AE = AC)CG AE = CG,) ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ puis relation de Chasles)
4.
(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ +)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + BC) ⃗⃗⃗CG ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = AG — (a. AB)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = 1 HG) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (relation de Chasles) (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(b. BG)=²NG — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ (N est le milieu de la diagonale [BG])
c. HL — 2 — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ (L est le milieu de [HG]) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ +)/(d. AN)NF (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ +)/(e. IB)BF — ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = AF — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = IF — ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗
5.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
c. AC − AB = AC + BA = BA + AC = BC ((a. ⃗⃗⃗⃗)/⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +)/EF⃗⃗FG (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ GC)/⃗⃗ (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ EC)/⃗⃗ (b. ⃗⃗⃗⃗)/HD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗/⃗⃗⁺⃗⃗DA (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗)/⃗⃗⃗⃗⁺⃗⃗AB ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ HB)/⃗⃗ (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ −)/(d. BG)⃗⃗BC — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ CB — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ BG — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ CG — ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ 8 Piège à éviter
Une différence se transforme d’abord en somme : − AB — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = BA. — ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ Puis on range les vecteurs pour que l’extrémité de l’un soit l’origine du suivant : BA (⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗)/(⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ + AC.)
Ce que vous apprendrez à faire
Les compétences du chapitre
Les 15 méthodes de la fiche méthode du chapitre :
- Décomposer un vecteur, construire un point
- Démontrer un alignement ou un parallélisme
- Démontrer une coplanarité ou qu’un point est dans un plan
- Démontrer que trois vecteurs forment une base
- Déterminer une position relative
- Lire des coordonnées dans un repère lié à une figure
- Calculer des coordonnées : vecteur, milieu, point défini par une égalité
- Démontrer une colinéarité, un alignement, un parallélisme
- Résoudre un système d’équations
- Étudier la coplanarité de trois vecteurs, démontrer une base
- Trouver une représentation paramétrique d’une droite
- Exploiter une représentation paramétrique donnée
- Déterminer la position relative de deux droites
- Déterminer la position relative d’une droite et d’un plan
- Trouver le point d’une droite le plus proche d’un point
Dans ce chapitre
Vos documents pour travailler
- Fiche méthodedans Mon espace
- Fiche d’exercices19 pages · dans Mon espace
- Corrigé détaillé26 pages · dans Mon espace
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